Как вы думаете, насколько сложно измерить длину окружности, например, самой обычной тарелки? Конечно, можно вооружиться ниткой, протянуть ее вдоль контура тарелки и измерить получившуюся длину. Но такое измерение скорее всего будет неточным, да и в целом этот способ подойдет далеко не для каждого случая. Например, как найти расстояние, которое пролетит движущийся по орбите спутник, или длину пути бегущей по краю цирковой арены лошади? На помощь в этих задачах приходит число Пи, математическая постоянная, однозначно связывающая диаметр окружности с ее длиной. Узнаем об истории открытия этой константы, формуле ее вычисления и способах применения.
Что такое число Пи в математике и как оно обозначается
Число Пи — это математическая постоянная, которая равна отношению длины окружности к ее диаметру. Проще говоря, если вы возьмете окружность любого размера и измерите ее длину, а затем разделите это значение на длину диаметра, то всегда получите одно и то же число — Пи. В математике, физике и других науках число Пи обозначают латинской буквой π.
Кто придумал число Пи: история и развитие
Одни из первых упоминаний об этой константе были найдены в Древнем Египте и Древнем Риме, где она использовалось для расчетов, связанных с окружностями. В Древнем Риме архитекторы принимали для π приближенное значение 3 1/8, в Древнем Египте — около 3,16. А древнегреческий математик Архимед, живший в III веке до н. э., использовал вписанные и описанные правильные многоугольники, чтобы определить границы числа Пи, и вычислил, что оно лежит между 3,1408 и 3,1429 (1).
Первым использовал букву π для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру Уильям Джонс в работе «Обозрение достижений математики» в 1706 году (1).
Эта постоянная продолжает привлекать внимание ученых и исследователей и в наши дни, а 14 марта даже отмечается Международный день числа Пи. По данным на 2024 год, компания StorageReview вычислила его значение до 105 триллионов знаков после запятой при помощи алгоритма Чудновского: весь процесс занял 75 дней (2).
Чему равно значение числа Пи
Полностью значение этой постоянной записать нельзя, так она является иррациональным числом, то есть не имеет конечного представления. Для расчетов часто используется приближенное значение 3,14159, которое называют примерным значением числа Пи.
В зависимости от задачи можно использовать и более короткие, и более длинные приближения. Например, в школе на уроках математики и физики почти всегда проводят вычисления со значением 3,14.
Формула вычисления числа Пи
Значение постоянной π вычисляется, как отношение длины любой окружности к ее диаметру.
Пусть D — диаметр окружности, C — ее длина. Тогда:
π = C/D ≈ 3,14159
В каком классе изучают число Пи
Число Пи начинают изучать в 6–7 классе, когда школьники знакомятся с такими понятиями, как окружности, радиусы и диаметры. В старших классах эта константа используется для решения более сложных задач, связанных с вычислением площадей фигур и объемов тел. Кроме математики, знание постоянной пригодится на уроках физики (например, при изучении колебаний и кругового движения) или астрономии, где π применяется в расчетах орбит небесных тел.
Примеры задач с вычислением числа Пи
Далее решим несколько задач с использованием числа Пи, чтобы наглядно разобраться, где и в каких формулах оно используется.
Задача 1
Найдите длину окружности, если ее диаметр равен 10 см.
Решение:
Воспользуемся формулой вычисления длины окружности через диаметр: C = πD, где C — длина окружности, D — диаметр.
С = π * 10 = 3,14 * 10 = 31,4 см.
Ответ: длина окружности — 31,4 сантиметра.
Задача 2
Вычислите, какое расстояние проедет моноколесо диаметром 45 сантиметров, если совершит 30 оборотов.
Решение:
Расстояние, пройденное моноколесом — это длина пути, равная длине окружности, умноженной на количество оборотов. Воспользуемся той же формулой: C = πD, где C — длина окружности, D — диаметр. А после домножим длину окружности колеса на 30 - количество совершенных оборотов, и получим расстояние S.
С = π * 45 = 3,14 * 45 = 141,3 см.
S = 141,3 * 30 = 4239 см = 42,39 м
Ответ: моноколесо проделает путь в 42,39 метра за 30 оборотов.
Задача 3
Вычислите объем теста, необходимый для круглой формы диаметром 30 сантиметров и высотой 6 сантиметров.
Решение:
Круглая форма для выпечки — это ничто иное как цилиндр. Воспользуемся формулой вычисления объема цилиндра через диаметр основания и высоту: V = πR2h, где V — объем цилиндра, R — диаметр основания, h — высота цилиндра.
Радиус — это половина диаметра:
R = 30/2 = 15 см.
V = π * 152 * 6 = 3,14 * 225 * 6 = 4245 см3.
Переведем кубические сантиметры в литры.
4245/1000 = 4,245 л.
Ответ: потребуется около 4,25 литра теста.
Как запомнить значение число Пи
Запомнить число Пи с его бесконечными цифрами после запятой невозможно, но существует несколько методов, которые помогают выучить хотя бы первые цифры. Один из них — это стишок, который помогает запомнить первые 15 знаков после запятой.
А можно составить и выучить мнемоническую фразу, в которой количество букв в словах будет соответствовать каждой цифре постоянной. Предложение может быть даже абсурдным, так оно запомнится еще лучше, например: «Дом у жабы и кошки сиреневый, да окошки белые, как крыша» — 3,1415926535.
Где число Пи используется в реальной жизни
Число Пи — это не просто абстрактная математическая константа, а вполне практическая вещь, которая встречается в жизни чаще, чем кажется.
- Приготовление еды и выпечка. Представьте, что вы решили испечь пирог. Вам нужно узнать, сколько теста потребуется, чтобы заполнить круглую форму для выпечки. Здесь поможет число Пи: оно позволяет рассчитать объем формы, зная ее диаметр, который почти всегда указан на упаковке.
- Ремонт и декор. Допустим, вы хотите сделать круглую раму для вышивки или повесить гирлянду вокруг круглого зеркала. Чтобы узнать, сколько багета или светодиодной ленты потребуется, можно рассчитать длину окружности с помощью числа Пи.
- Автомобиль и шины. Когда вы едете на машине или велосипеде, расстояние, которое проходит колесо за один оборот, зависит от его диаметра и легко вычисляется благодаря константе.
- Спорт и развлечения. Если вы когда-нибудь играли в футбол, баскетбол или боулинг, то сталкивались с круглыми мячами. Здесь число Пи поможет для обратного вычисления: например, если вам нужно узнать диаметр мяча, можно с помощью обычной нитки измерить его окружность и разделить на 3,14.
А иногда число Пи может встретиться даже на прогулке. Например, забавной историей поделился Борис Трушин, кандидат физико-математических наук, преподаватель математики в онлайн-школе «Фоксфорд»:
«Однажды на конференции по естественным наукам группа ребят рассказывала о проведенном ими исследовании. Школьники ходили по разным лесам, находили муравейники и измеряли их. Ребята заносили данные в большую таблицу, и (о чудо!) оказалось, что муравьи, не сговариваясь, во всех лесах строят такие муравейники, у которых длина окружности в три раза больше диаметра».
Мнение эксперта
Вот, что говорит о числе Пи наш эксперт Борис Трушин:
«Наверняка в каком-нибудь фильме вы видели, как герой называет число π и с удивительной точностью перечисляет десятки знаков после запятой. В другом фильме герой умеет быстро в уме перемножать многозначные числа. Такие сюжеты могут создать у зрителя впечатление, что это с легкостью делают все люди с выдающимися математическими способностями.
Но в действительности ни то, ни другое не говорит о математических навыках. Если спросить у любого серьезного профессора-математика, сколько знаков числа π он знает, то хорошо, если он сможет назвать шесть или восемь. Да и то вряд ли. А уж многозначные числа он точно не умеет быстро перемножать.
Поэтому школьникам, студентам и людям, не связанным с математикой, достаточно помнить, что π — число чуть больше трех, примерно 3,14. Если нужна еще большая точность, можно запомнить, что это 22/7. Даже в математических задачах, когда получается “пи”, “два пи” или “пи пополам”, никто не считает примерное значение. Так и пишут в ответе: π, 2π, π/2. И все понятно. Если речь идет о физиках или инженерах, то они используют приближенное значение числа π. Но и для этого они не помнят все знаки: они просто используют калькулятор или компьютер, чтобы посчитать с нужной точностью».
Что нужно запомнить о числе Пи
Мы собрали в короткий список основную информацию о числе Пи. Он поможет вам проверить, как вы усвоили этот материал, а при желании его можно использовать для повторения темы.
- Число Пи (π) — это математическая константа, равная отношению длины окружности к ее диаметру.
- В школьной программе число Пи изучается в 6–7 классе и используется в задачах на окружности, а также в старших классах в геометрии, физике и астрономии.
- Чаще всего используется приближенное значение числа π = 3,14.
- Первые приближенные значения числа Пи использовали в Древнем Египте и Древнем Риме. Архимед в III веке до н. э. уточнил его границы, а сегодня его значение вычислено до 105 триллионов знаков.
- Число Пи применяется при вычислении длины окружностей, площадей и объемов фигур, а также в физике (колебания, круговое движение) и астрономии (расчеты орбит).
- Константа полезна в обыденных сферах: кулинарии, ремонте, транспорте и других.
Список источников
- Жуков А. В., О числе π, МЦМНО, 2002.
- 105 Trillion Pi Digits / The Journey to a New Pi Calculation Record. 2024.
