Эвольвента

Эвольвента (инволюта) — это кривая, связанная с другой кривой так, будто по исходной кривой намотана нить, и ее конец движется при разматывании. В каждой точке эвольвенты направление нити совпадает с касательной к исходной кривой. 

Если исходную кривую задают параметром t, то важную роль играет длина дуги s(t), потому что именно столько нити уже «размотано». На практике ее удобно задавать формулами, а не строить только рисунком.

Пусть исходная кривая задана радиус-вектором r(t), а T(t) — единичный касательный вектор, s(t) — длина дуги от начальной точки. Тогда одну из стандартных записей эвольвенты можно выразить так: rэв(t)=r(t)−(s(t)−s0)T(t). Для окружности радиуса R эвольвента имеет наглядную параметризацию: x=R(cos⁡t+tsin⁡t),y=R(sin⁡t−tcos⁡t).

Эвольвенты особенно важны в технике: профиль зубьев эвольвентных шестеренок строят именно по этой кривой, потому что она дает устойчивое зацепление. Также эвольвента встречается в геометрическом моделировании и в задачах, где нужно описать «разматывание» или движение вдоль касательной без скольжения.