Расскажем о наборе математических правил, которые помогают упростить выражения с многочленами. Формулы сокращенного умножения используются для быстрого вычисления квадратов и других степеней, например кубов суммы и разности чисел. Они лежат в основе множества более сложных математических операций и используются при решении задач на упрощение алгебраических выражений. Рассмотрим, что собой представляют формулы сокращенного умножения, приведем примеры тех, что потребуются на уроках алгебры, и расскажем, как быть, если выучить их все же не удалось.
Что такое формулы сокращенного умножения и для чего они нужны
Формулы сокращенного умножения — это набор типовых правил, которые позволяют быстрее проводить вычисления с числами и многочленами высоких степеней. На уроках алгебры и экзаменах по математике они помогут:
- упростить выражение с многочленами;
- сократить время на вычисления;
- заменить сложный расчет в задаче более коротким и простым;
- решить уравнение или неравенство с многочленом второй или более высокой степени.
«Речь идет в том числе о банальной скорости произведения операций. Так, к примеру, посчитать квадрат числа 499 в уме будет гораздо проще, если представить 499 как разность 500 и 1, что позволит записать возведение во 2-ю степень по формуле квадрата разности. Тогда 4992 = (500 - 1)2 = 5002 - 2*500*1 + 12 = 250000 - 1000 + 1 = 249001», — говорит Валерий Тепляков, частный преподаватель физики и математики.
Все формулы сокращенного умножения
В школе обычно не рассматривают формулы для степеней выше 3, поэтому мы перечислим здесь те основные, которые точно пригодятся на уроках и экзаменах. Но будем помнить, что бином Ньютона, на котором основаны эти правила, позволяет проводить расчеты для любых целых положительных степеней. А значит при желании можно вывести формулу и для 4, и для более высоких порядков.
Квадрат суммы
Как возвести в квадрат сумму двух чисел? Можно перемножать почленно, но гораздо удобнее воспользоваться готовой формулой.
Формула
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Пример вычисления
Вычислим: (x + 3)2
Решение:
(x + 3)2 = x2 + 2*x*3 + 32 = x2 + 6x + 9
Квадрат разности
Для возведения разности двух чисел или переменных во вторую степень тоже легче всего взять уже готовую формулу.
Формула
(a - b)²= a² - 2ab + b²
Пример вычисления
Вычислим: (x - 5)2
Решение:
(x - 5)2 = x2 - 2*x*5 + 52 = x2 - 10x + 25
Разность квадратов
Пожалуй, эта формула самая простая из всего списка, поэтому запомнить ее легче всего. И именно она часто используется в обратном порядке: в задачах не раскладывают разность квадратов на множители, а наоборот, собирают произведение суммы и разности двух чисел в разность квадратов.
Формула
a² - b² = (a - b)*(a + b)
Пример вычисления
Вычислим: x² - 9
Решение:
x2 - 9 = x2 - 32 = (x - 3)(x + 3)
Куб суммы
Формулы для третьей степени немного сложнее, чем для второй. Например, для куба суммы в тождественном выражении четыре слагаемых.
Формула
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Пример вычисления
Вычислим: (x + 4)³
Решение.
(x + 4)³ = x³ + 3*x²*4 + 3x*4² + 4³ = x³ + 12x² + 48x + 64
Куб разности
Вычисление куба разности сравнимо с кубом суммы, только необходимо заменить знак при нечетных степенях второй переменной.
Формула
(a + b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Пример вычисления
Вычислим: (x - 4)³
Решение.
(x - 4)³ = x³ - 3*x²*4 + 3x*4² - 4³ = x³ - 12x² + 48x - 64
Сумма кубов
Сумма и разность кубов раскладывается сложнее, но и эти формулы легко можно запомнить при желании.
Формула
a³ + b³ = (a + b) * (a² - ab + b²)
Пример вычисления
Вычислим: x³ + 8
Решение:
x³ + 8 = x3 + 23 = (x + 2) * (x² - 2x + 4)
Разность кубов
Самое сложное в применении формулы для разности кубов — не запутаться в расстановке знаков. Важно хорошо запомнить, что в этом случае минус стоит только в первой скобке, а во второй — только плюсы.
Формула
a³ - b³ = (a - b) * (a² + ab + b²)
Пример вычисления
Вычислим: x³ - 8
Решение:
x³ - 8 = x3 - 23 = (x - 2) * (x² + 2x + 4)
Таблица с формулами и правилами чтения
Вы можете воспользоваться приведенной ниже таблицей формул для заучивания и самопроверки.
| Квадрат суммы | (a + b)² = a² + 2ab + b² | Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго |
| Квадрат разности | (a - b)² = a² - 2ab + b² | Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго |
| Разность квадратов | a² - b² = (a - b)*(a + b) | Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму |
| Куб суммы | (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ | Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго |
| Куб разности | (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ | Куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго |
| Сумма кубов | a³ + b³ = (a + b) * (a² - ab + b²) | Сумма кубов двух выражений равна квадрату первого минус произведение первого на второе плюс квадрат второго и все это умноженное на сумму первого и второго |
| Разность кубов | a³ - b³ = (a - b) * (a² + ab + b²) | Разность кубов двух выражений равна квадрату первого плюс произведение первого на второе плюс квадрат второго и все это умноженное на разность первого и второго |
Почему формулы сокращенного умножения изучают в 7-м классе
Валерий Тепляков, частный преподаватель физики и математики рассказал, что изучение формул сокращенного умножения происходит в 7 классе как один из переходных этапов от программы математики начальной школы, посвященной преимущественно арифметике, к программе средней школы: в ней больше внимания уделяется уже алгебре. В рамках данной дисциплины рассматриваются действия не только с числами, но и с другими сущностями, в том числе с векторами, матрицами и прочим. Для подобных операций также нередко применяются преобразования и действия, аналогичные изучаемым в 7 классе.
Как запомнить формулы сокращенного умножения
Запомнить формулы сокращенного умножения может быть не так сложно, если придерживаться нескольких простых правил:
- учите по одной формуле за один раз;
- как можно чаще переписывайте формулы от руки;
- можно распечатать или самостоятельно нарисовать плакат с формулами и повесить над рабочим столом, так они будут запоминаться визуально;
- запомните взаимосвязь формул, например квадрата суммы и квадрата разности;
- выполняйте упражнения с применением формул;
- пробуйте сами придумывать примеры и решать их.
Вот, что говорит о запоминании формул Валерий Тепляков, частный преподаватель физики и математики:
«Запомнить выражения для сокращенного умножения путем бессознательного заучивания, конечно, можно — человеческая память достаточно вместительна для этого — однако целесообразнее понять их суть и происхождение: многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Таким образом, если разобраться с ним, то формулы сокращенного умножения станут более доступными, в том числе и для применения».
Мнение эксперта
«Говоря о формулах сокращенного умножения, стоит помнить об их универсальности. Законы применимы как к отрицательным, так и к положительным числам, к целым и к дробным, что позволяет широко применять данные выражения. Также примечательно, что помимо формул для второй и третьей степени, которыми школьный курс зачастую ограничивается, есть аналоги и для более высоких порядков: дело в том, что бином Ньютона позволяет проводить расчеты для любых целых положительных степеней».
Что нужно запомнить о формулах сокращенного умножения
В завершение выделим несколько ключевых моментов, касающихся формул сокращенного умножения:
- они упрощают вычисления и применяются в различных областях математики;
- основаны на биноме Ньютона, поэтому их можно вычислить по его основной формуле;
- формулы до 3-4 степени можно достаточно легко вывести, если вы их забыли;
- чтобы запомнить формулы, их нужно часто повторять и практиковаться.
