Две старшеклассницы, Кальцея Джонсон и Не’Кия Джексон из Нового Орлеана, США, представили новое доказательство знаменитой теоремы Пифагора. Изюминка в том, что такой тип доказательств считается «невозможным». Школьницы опирались только на тригонометрию, то есть на науку об измерении треугольников.
ЗАДАЧА СО ЗВЕЗДОЧКОЙ
Все началось еще в 2022 году на школьном математическом конкурсе, когда девочкам попалась некая задача со звездочкой. А попробуйте доказать теорему Пифагора только с помощью тригонометрии. Знал ли учитель, что такое невозможно? Позже его спросили, и он ответил с (как отметил репортер) «нехорошей улыбкой»:
— Я рассчитывал, что дети просто порассуждают.
Небось, и сам не знал.
Но ученицам неожиданно удалось, и в следующем году они уже выступали на заседании Американского математического общества, чего старожилы не припомнят. А на днях вышла наконец их статья в журнале The American mathematical monthly, так что научное сообщество все признало, так получается.
Ажиотаж вокруг открытия (или «открытия») вышел за все рамки умеренности и приличия. «Пифагор был гордился», девушки «раздвигают границы познания и раскрывают человечеству новые горизонты», пишут в соцсетях американские математические общества. Главред журнала говорит, что «для нас честь опубликовать эту статью, которая соответствует духу основателя нашего журнала». А и то: девушки, темнокожие, из Нового Орлеана — все по канонам пресловутой «повесточки». Почему и критиковать (а в науке принято критиковать всех) как-то не с руки. Вроде как детей, женщин, и заодно темнокожих обидел. Раздаются редкие (и в основном анонимные) голоса: доказательство не оригинальное, не точное, сложное, и вообще его нет.
Новоявленные гении, пока суть да дело, из школьниц стали студентками. Кия изучает фармацевтику (а вовсе не математику) в университете Луизианы, а по выходным погружается в хобби, каковых у нее много (кошки, кролики, бильярд, аниме). Кальцею потянуло в колледж, и она будет «инженером окружающей среды» (нечто среднее между ландшафтным дизайнером и экологом). С хобби у нее туговато, но она пропадает в театрах и увлекается корейской попсой. Прямо как наш Перельман, скромность в быту. А может, смышленые (тут спору нет) девчушки поняли, что стали инструментом повесточной пропаганды, и хотят дистанцироваться?
Попробуем разобраться, что за открытие такое, но сделать это будет непросто. В научной прессе вы прочитаете, например, что даже имена девчонок предсказаны Провидением, ведь есть все еще популярный на Западе мюзикл 1954 года «Кармен Джонс», и там героинь зовут именно так. Ну и аналитика. Поэтому придется покопаться самим. Что ж, попытаемся.
ПРОСЛАВИЛСЯ СВОИМИ ШТАНАМИ.
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Помним с детства. Пригодилось ли в жизни? Кому как.
Это именно теорема, а не аксиома. То есть ее надо доказывать. Но, кажется, что изначально ее вывели из практики, и над доказательством особенно не думали.
Упоминания соотношений в прямоугольном треугольнике встречаются уже в вавилонских таблицах и египетских папирусах XX—XV вв.еков до новой эры. Похоже, сначала люди открыли забавные соотношения чисел, которые позже назвали «пифагорейскими тройками». Это — три числа, для которых правило.
А (в квадрате) + В (в квадрате) = С (в квадрате).
бросается в глаза. Например, 3, 4 и 5. В самом деле:
Три в квадрате (9) + Четыре в квадрате (16) = Пять в квадрате (25).
Нетрудно убедиться: если построить треугольник с такими сторонами, он получится прямоугольным. Ого, подумали древние вавилоняне. Тонкость в том, что им постоянно приходилось строить разные фигуры. И даже не на бумаге, а на грунте, палками и веревками. Драгоценная пахотная земля Междуречья вечно становилась предметом тяжб, ее, бедную, кромсали и делили, землемеров вызывали. Заприметив удобное соотношение, кадастровые инженеры взяли его на заметку.
Считается, что Пифагор (жил в VI—V веках до новой эры) придумал правила, как находить такие сочетания цифр, а где правило, там и теорема, но до сих пор доподлинно неизвестно, имеет ли вообще Пифагор отношение к теореме имени себя.
От Пифагора не сохранилось ни одного сочинения. Судя по тому, сколько шума он наделал в истории, личностью он был незаурядной. Вернувшись из Вавилона, он придумал концепцию переселения душ, сам часто выходил из тела и являлся ученикам одновременно в разных концах города, живым спускался в преисподнюю, говорил, что слышит ушами музыку сфер (и изобрел семь нот по числу семи планет). Греческий мыслитель остается актуальным и в наши дни. Конспирологи пишут, что он был «агентом Вавилона», который создал мировое правительство и заразил западную цивилизацию деструктивными идеями. Ковид? Это тоже он.
Все это замечательно, но мог ли мистик, шоумен и агент Вавилона обосновать теорему, вопрос.
В III веке до новой эры появляется фундаментальное сочинение Евклида «Начала», по которому математику штудировали до ХХ века (и сейчас бы неплохо студентам почитывать, но — сложна), и там доказательство есть. Оно заключается в том, что к треугольнику подрисовываются квадраты, всего три квадрата, примыкающие к трем сторонам. Доказывается, что площади квадратов равны, и тем самым обосновывается вся теорема. Что есть квадрат, допустим, гипотенузы, как не площадь квадрата, примыкающего к гипотенузе? Ранняя математика часто мыслила не числами, а фигурами. Нам это непривычно.
Именно подрисованный квадратами треугольник Евклида и называется «пифагоровы штаны», которые, как известно, «во все стороны равны». На штаны в самом деле похоже. Школьники лет сто назад прекрасно знали, о чем речь, потом «штаны» изучать перестали, а поговорка осталась; наконец, забылась и она. Я поспрашивал современных школьников (конечно, мой «опрос» не претендует на полноту), и про «штаны» уже мало кто слышал, а кто слышал, думает, что это таблица умножения.
ДАЖЕ ЭЙНШТЕЙН ПОПЫТАЛСЯ.
С тех пор теорему Пифагора разными способами доказали примерно 400 раз. В точности не знает никто. Мне встретилась книжка «371 способ доказательства теоремы Пифагора», но туда явно вошло не все. Есть сайты, посвященные только доказательствам теоремы Пифагора.
Наши школьницы в статистику пока не попали. Да и статья у них называется «Пять или десять новых доказательств теоремы Пифагора». То ли пять, то ли десять, кто их там считает.
Среди великих, кто упражнялся на прямоугольном треугольнике — например, Альберт Эйнштейн, а Стивен Хокинг много про это писал. Конечно, есть доказательство на основе комплексных чисел, куда без них (забавно, что в Питере говорят «комплЕксные» числа, а в Москве «кОмплексные», ох уж этот вечный спор бордюра и поребрика). Теорему доказывал ИИ. Движуха!
В целом доказательства можно разделить на алгебраические (то есть формулами) и геометрические (чертежами), хотя в реальности сначала что-то рисуют, а потом пишут всякие циферки, то есть по сути это смешанные доказательства.
Но особым шиком считается доказать теорему Пифагора тригонометрически. Но что такое «тригонометрия»?
Школьники уверены, что это просто другое название геометрии. Определение Википедии, как часто в этой «энциклопедии», прекрасно: «Тригонометрия — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции». С чем не поспоришь.
На самом деле термин «тригонометрия» (в переводе — «измерение треугольника») придумал в конце XVI века немец Питискус. Шли Великие географические открытия, астрономия (для целей навигации) нужна была всем морякам, а тогдашняя астрономия строилась на треугольниках (правда, сферических). Разумно было вынести знание о треугольниках и углах в особую «науку». Собственно, тригонометрия — наука о треугольниках и углах.
Теорема Пифагора — о треугольнике, и заманчиво ее доказать, пользуясь только «правилами треугольника». Но в 1927 году математик Элиша Скотт Лумис заявил, что тригонометрического доказательства теоремы Пифагора не существует. И вот почему.
Как бы вы ни крутили, вас выкинет к тождеству.
Синус в квадрате угла альфа + косинус в квадрате угла альфа = 1.
Синус, напомню, это отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Косинус — прилежащего.
Штука в том, что это красивое соотношение само есть следствие теоремы Пифагора. Соответственно, им нельзя доказать теорему. Если оно верно, «верна» и теорема, если нет, неверна. Мы изначально как бы не знаем. Получается дурная бесконечность.
Лумис был не вполне прав, и уже в наше время тригонометрические доказательства все-таки стали появляться. Так, несколько предложил советский (позже американский) математик Александр Богомольный, а в 2009 году изящное доказательство сформулировал физик Джейсон Зимба. Утверждают: именно доказательство Зимбы похоже на то, которое выдвинули девчонки. «Зимба не получил никакой славы, а эти…», возмущаются анонимы в соцсетях. Сам Зимба, кстати, никак не высказался, хотя ведет всякие каналы.
В общем, вы поняли: общество «доказателей» теоремы Пифагора — это элитный клуб, в котором и Евклид, и Эйнштейн, и вдруг приходят школьницы, и занимают места в первом ряду. В соцсетях я читал, что это, конечно, «они не сами» (всегда так пишут, когда на горизонте засверкает юное дарование), но мы вместо домыслов погрузимся лучше в само новоявленное доказательство.
ДЕЛО О ВАФЕЛЬНОМ РОЖКЕ.
Как вы уже поняли, девушки представили несколько доказательств (пять или десять, как следует из названия статьи), но в основе — то, когда их осенило на математическом конкурсе — так называемый «вафельный рожок».
Собственно, «рожок» — это прямоугольный треугольник, с очень сильно вытянутым одним катетом (и, соответственно, растянутой гипотенузой). В самом деле похоже на вафельный рожок, а также на рог изобилия, из которого высыпалось еще десять доказательств, да на много чего похоже.
Доказательство начинается с того, что внутри треугольника вырезается малая часть, и получается новый треугольник. С помощью элементарных тождеств девушки определяют, как выразить стороны и углы этого нового треугольника, а потом строят новые и новые такие же, приближаясь к заостренному краю «рожка».
Треугольники получаются у них все меньше, но все — подобны друг другу, что доказывается особо.
Далее остается суммировать нужные нам стороны малых треугольников, и через них выразить стороны исходного, большого. Для этого надо найти сумму бесконечной последовательности (ведь внутренние треугольники, уменьшаясь, бесконечно приближаются к «острию» «рожка»), что математики делать умеют.
В результате получаем искомое тождество. Сумма квадратов катетов в самом деле оказывается равной квадрату гипотенузы (уф, а мы-то усомнились).
Бонусом девушки приводят еще несколько тригонометрических доказательств, но нашумел именно «вафельный рожок».
В своей статье авторы уделили целый раздел оправданию, что их доказательство действительно в тригонометрическое, и не содержит «дурной бесконечности». Но подозрительно оговариваются: провести точную границу, где тригонометрия, где не тригонометрия, нельзя. То есть сами сомневаются.
СМУТНЫЕ СОМНЕНИЯ.
Все это, конечно, немного странно.
Школа, где учились девочки, теперь подсвечена огнями софитов. Директор, наверное, горд: вы думали, у нас тут дыра, в Новом-то Орлеане, а мы вона что.
Непонятно, с чего вдруг такое задание появилось на математическом конкурсе.
Версия первая — учитель искренне не знал, что, согласно Лумису, такое доказательство невозможно. Недавно писали, что школьные учителя физики в США не знают, например, что такое «эклиптика», и почему гудят трансформаторы. Возможно, учитель где-то что-то прочитал, не разобрался, и решил подкинуть такой вопрос.
Но возможна и другая версия. Как вы представляете себе школьника на контрольной? Это максимально напуганное существо, которое боится сделать описку, в панике сверяется с черновиком и пытается заглянуть за спину соседа. Верим ли мы, что в такой обстановке даже талантливый школьник сделает открытие? Наши девочки должны были хладнокровно рассудить: тригонометрия — это наука о треугольниках. Мы не можем пользоваться тригонометрическими тождествами «в лоб», это приведет к дурной бесконечности. Значит, нам надо придумать что-то свое.
Эта картина подразумевает как довольно глубокие знания, так и дьявольскую выдержку. Природный талант? Я верю в природный талант. Гении находятся там, где их и не ждешь. Но слабо верится в эту конкретную ситуацию. Не выдумана ли она?
А может, и не выдумана. Беда в том, что я не представляю, как проходит математический конкурс в Новом Орлеане. Может, дети сидят в расслабленных позах, свободно общаются, гуглят, выходят в кафетерий, и там обмениваются идеями. Вся эта история всплывает уже как готовый миф, когда девчонки делают доклад в Американском математическом обществе.
Общество принимает гостей тепло, но просит кое-что подтянуть. Теперь говорят: раз рецензируемый журнал статью принял, значит, подтянули. Кстати, а сам журнал, The American mathematical monthly — он «хищный» или нет (на сленге «хищными» журналами называют научные помойки, где можно напечатать что угодно)? Вроде нет, но один нюанс. Это, строго говоря, не академический, а скорее просветительский журнал. Критерии, чтобы напечататься, существуют, но это не рецензирование, как в академических изданиях, не в лупу и без придирок.
ФАЛЬШИВЫЕ ФАНФАРЫ.
Я прочитал несколько десятков блогов, которые ведут «настоящие» (западные) математики. Там или сухо излагается концепция «вафельного рожка», или со вздохом констатируется: мы бы и не заметили этой мутноватой истории, но раз такой шум…
Открытой критики, как уже говорилось, мало, но она есть, и сводится к следующему:
— это не первое чисто тригонометрическое доказательство — Зимба был раньше;
— оно опирается на то, что уже сделал Зимба;
— в нем все равно есть элементы «дурной бесконечности»;
Лучше всех высказался автор знаменитого блога Bad Mathematics (он большая шишка в науке; я честно искал, как героя зовут в миру, и, кажется, все математики знают, кто это, но не говорят). Итак:
Девочки безусловно талантливы, они молодцы. Пресса, в том числе научная пресса, визглива, ленива и чудовищно невежественна. Она раздула неприличный шум, который повредит и самим девчонкам. К сожалению, к неумеренным похвалам присоединилась и профессиональная общественность.
Зимба очень хорошо и аргументированно, чистой тригонометрией, доказал теорему Пифагора. Доказательство девочек сложнее, запутаннее, но тоже годится. Прежде, чем раздувать преувеличенные восторги, стоило поговорить с математиками, да с тем же Зимбой, и выступить достойно, как принято в науке. Вот что написал автор блога.
Такая история. Верим ли мы, что Пифагор — отец-основатель мирового правительства, и вот, оно подогревает интерес к своему праотцу? А ведь все сходится (в теориях заговора вообще «все сходится»).
Если серьезно, как сказала недавно физик Сабина Хоссенфельдер (по другому поводу), «наука в кризисе, и нам потом будет стыдно за то, что мы творим последние 50 лет». Девушки, видимо, интуитивно почувствовали всю эту фальшь, и математиками становиться не собираются. Минус два ученых. Жаль, из них бы вышли отличные математики. Возможно, гении.
ПРЯМАЯ РЕЧЬ.
Алексей Савватеев, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, профессор МФТИ.
— Выглядит довольно мутно. Скорее всего — просто используются свойства тригонометрических функций, которые в свою очередь выводятся из теоремы Пифагора. В любом случае, это очень громоздко — обычные доказательства в десять раз короче и проще.