С помощью этих чисел можно считать и решать математические задачи. Они знакомы с древних времен, и люди до сих пор используют их в повседневной жизни. Рассказываем, что такое натуральные числа, кто их придумал и какие действия можно с ними проводить.
Что такое натуральные числа и натуральный ряд: определение
Натуральные числа — это положительные целые числа: от единицы до бесконечности. Они просты и подчиняются строгим математическим законам, используются для счета, измерения и решения различных задач.
Для обозначения натуральных чисел используют первые десять цифр от 0 до 9. А из них уже можно составить самые различные комбинации (1).
Последовательность всех натуральных чисел называется натуральным рядом. На письме его обозначают латинской буквой N. Натуральный ряд — это как лестница, на которой нет верхней ступеньки. Сколько бы ты ни поднимался, всегда найдется еще один уровень выше. Каждый элемент в этом ряду имеет свое место и значение, и они все связаны между собой.
Однако многие числа в этот ряд не попадают. К натуральным не относятся отрицательные числа и дроби. С их помощью нельзя посчитать целые осязаемые предметы (например, количество машин на дороге).
Наименьшее и наибольшее натуральное число
Некоторые начинают натуральный ряд с нуля, но это неверно. Он может обозначить не количество предметов, а только их отсутствие.
Первое число, которые открывает счет, — это единица. Ее называют наименьшим натуральным числом, а наибольшего просто нет. Каждое новое число на единицу больше предыдущего, и так они идут до бесконечности.
Кто придумал натуральные числа: история и развитие
«Люди начали использовать натуральные числа для счета и торговли задолго до появления письменности. Самые древние находки, подтверждающие использование чисел, относятся к палеолиту — кости Ишанго (20 000 лет до н. э., найдены в Африке), где имеются зарубки, которые предположительно служили для счета», — рассказывает Дарья Дейген, эксперт ЕГЭ по математике, заместитель директора Университетской гимназии МГУ имени М. В. Ломоносова.
С развитием цивилизаций возросла потребность в более сложной системе счета. Эксперт Дарья Дейген отмечает, что в Древнем Египте уже существовали первые арифметические операции с натуральными числами — сложение и вычитание. А шумеры разработали одну из первых систем счисления — шестидесятиричную. Эти ранние системы позволили людям вести учет урожая, налогов и даже времени (2).
В Древней Греции математика стала не только практическим инструментом, но и предметом философских размышлений. Например, Пифагор считал числа священными и искал в них гармонию и порядок. Он даже утверждал, что «все есть число», подчеркивая важность математики в понимании мира (3).
«Первое строгое определение натуральных чисел дал Евклид в III в. до н. э., но в то время их называли просто “числа”», — добавляет Дарья Дейген.
Настоящая революция в числах произошла в Индии. Индийские математики не только продолжали развивать систему натуральных чисел, но и ввели концепцию нуля, открыв новые горизонты для вычислений (4).
В средние века арабские ученые взяли на себя задачу сохранить и развить знания античных цивилизаций. Они адаптировали индийскую систему чисел и распространили ее по всему миру. Именно благодаря арабам мы получили современную десятичную систему счисления, которая включает в себя натуральные числа.
Многозначные и однозначные натуральные числа
Натуральные числа обозначают одним или несколькими символами. Цифрами от 1 до 9 пишут однозначные числа. По количеству их всего девять. Примеры однозначных натуральных чисел: 3, 4, 8.
Многозначные числа обозначают минимум двумя символами. Цифр в их составе может быть и больше: три, четыре, пять и до бесконечности. Двузначных чисел насчитывают 90, трехзначных — 900 и т. д.
Примеры многозначных чисел: 12, 457, 3 582, 55 834 и т. д. Для удобства чтения внутри длинных чисел ставят пробелы, которые отделяют друг от друга десятки, сотни, тысячи и другие разряды.
Классы и разряды натуральных чисел
Разряд — это место, которое занимает цифра в общем числе. Он помогает ориентироваться в числовых данных, особенно больших, и делать верные расчеты. Например, в числе 345 есть три цифры: 3, 4 и 5. Каждая из них занимает определенное место:
- 3 находится в разряде сотен;
- 4 — в разряде десятков;
- 5 — в разряде единиц.
Количество разрядов, как и натуральных чисел, бесконечно.
Группа разрядов, объединенных по определенному принципу, образует класс. Каждый класс состоит из трех разрядов.
Классы и разряды натуральных чисел пригодятся не только в математических расчетах, но и в повседневной жизни. Они помогают быстро ориентироваться в информации и принимать решения. Например, когда видите цену в магазине или смотрите на номер автобуса, вы уже интуитивно понимаете, как работают числа.
Какие арифметические действия возможны с натуральными числами
С натуральными числами можно совершать различные математические расчеты. Их можно:
- складывать;
- умножать;
- возводить в степень;
- вычитать;
- делить;
- извлекать из них корень (1).
Первые три действия выполнимы всегда. Последние три зависят от числа. Например, из числа 2 можно вычесть единицу, но извлечь корень из него не получится.
«В результате сложения и умножения натуральных чисел мы всегда будем получать натуральное число. В результате вычитания — целое, а в результате деления — рациональное», — отмечает эксперт Дарья Дейген. Разберем на примерах:
- сложение: 17 + 10 = 27 (натуральное);
- вычитание: 17 – 10 = 7 (натуральное), 10 – 17 = –7 (целое, но не натуральное);
- умножение: 17 х 10 = 170 (натуральное);
- деление: 17 : 10 = 1,7 (рациональное, но не натуральное), 10 : 5 = 2 (натуральное).
Эксперт также отмечает, что наименьшая сумма двух натуральных чисел равна 2: она получается при сложении 1+1. А наименьшее произведение двух натуральных чисел равно единице, что получается при умножении 1 на 1.
«В произведении и сумме натуральные числа 0 дать не могут, но в результате вычитания натуральных чисел 0 может быть получен, если взяты два равных числа», — добавляет Дарья Дейген.
Свойства натуральных чисел
Вы уже знаете, что натуральные числа бесконечны и имеют положительное значение. Эти свойства — не единственные. Описали важные особенности натуральных чисел в таблице.
| Свойство | Описание | Пример |
| Замкнутость | Сложение и умножение натуральных чисел всегда дают натуральные числа | Сложение: 3 + 5 = 8 |
| Умножение: 4 х 6 = 24 | ||
| Коммутативность | Порядок чисел не имеет значения при сложении и умножении | Для сложения: 2 + 3 = 3 + 2 = 5 |
| Для умножения: 7 х 4 = 4 х 7 = 28 | ||
| Ассоциативность | При сложении или умножении трех и более чисел можно группировать их любым образом, и результат останется прежним | Для сложения: (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6 |
| Для умножения: (2 х 3) х 4 = 2 х (3 х 4) = 24 | ||
| Наличие единицы | Единица — нейтральный элемент для умножения. Любое натуральное число, умноженное на 1, остается неизменным | 5 х 1 = 5 |
| Делимость | Любое натуральное число делится на 1 и на само себя | 2 : 1 = 2 |
| 2 : 2 = 1 | ||
| Простые и составные числа | Простые числа — это натуральные числа, которые имеют только два делителя: единицу и само себя. У составных чисел — больше двух делителей | Простое число: 7 — делится только на 1 и 7 |
| Составное число: 8 — делится на 1, 2, 4 и 8 |
В каком классе изучают натуральные числа
«Дети знакомятся с натуральными числами в юном возрасте — в садике или на программах дошкольной подготовки. В первом классе вводятся действия сложения и вычитания, часто в пределах 20, хотя в более сильных школах диапазон может быть расширен. Во втором классе ребята изучают операции умножения и деления, учат таблицу умножения. В 3-м и 4-м классе школьники работают со всеми операциями с многозначными натуральными числами, а также уже знакомятся с дробями. С отрицательными числами ученики работают с 6 класса», — рассказывает Дарья Дейген.
Примеры задач на действия с натуральными числами
Эксперт Дарья Дейген поделилась простыми и интересными задачами, которые помогут лучше разобраться в теме натуральных чисел.
1. Найти сумму
Условие:
Первое число равно 150, второе число в 2 раза больше первого. Найдите сумму этих чисел.
Решение:
1. 150 х 2 = 300 — второе число.
2. 150 + 300 = 450 — сумма двух чисел.
Ответ: 450.
2. Найти массу
Условие:
На машину погрузили 450 кирпичей. Масса каждого кирпича 2 кг. Чему была бы равна масса всех кирпичей, если бы их количество было в 3 раза меньше?
Решение:
- 450 : 2 = 225 (шт.) — количество кирпичей, погруженных в машину;
- 225 : 3 = 75 (шт.) — количество кирпичей при уменьшении в 3 раза;
- 75 х 2 = 150 (кг) — масса уменьшенного количества кирпичей.
Эксперт отмечает, что у этой задачи есть и второе, даже более простое решение:
«При уменьшении количества кирпичей в 3 раза и сохранении массы одного кирпича (а кирпичи у нас не менялись), общая масса также уменьшится в 3 раза, то есть:
450 : 3 = 150 (кг) — новая масса кирпичей».
Ответ: 450 кг.
3. Найти скорость
Условие:
Расстояние между двумя городами 300 км. За 2 часа поезд прошел половину этого пути. Какая скорость у поезда?
Решение:
- 300 : 2 = 150 (км) — путь, пройденный поездом;
- 150 : 2 = 75 (км/ч) — скорость поезда.
Ответ: 75 км/ч.
Комментарий эксперта
«Натуральные числа мы чаще всего используем в повседневной жизни. Это числа, необходимые для пересчета предметов. Первое натуральное число — это 1, а не 0, который относится уже к множеству целых чисел», — рассказывает Дарья Дейген.
По словам эксперта, в современном понимании натуральные числа — это элементы множества N, которые можно задать с помощью аксиом Пеано (прим. авт.: система аксиом для натуральных чисел, которую ввел итальянский математик Джузеппе Пеано в 1889 году).
- Существует число 1, которое является натуральным числом.
- У каждого натурального числа n существует последовательное число n + 1.
- Натуральные числа различны: если m≠n, то m + 1 ≠ n + 1.
- Принцип математической индукции: если некоторое свойство выполняется для числа 1, а также для каждого n выполняется при переходе от n к n+1, то оно выполняется для всех натуральных чисел.
Что нужно запомнить о натуральных числах
Собрали основную информацию по теме в кратком перечне.
1. Натуральные числа — это положительные целые числа, начиная с единицы и продолжающиеся бесконечно.
2. Натуральный ряд — это последовательность всех натуральных чисел.
3. Наименьшее натуральное число — единица. Наибольшего натурального числа не бывает.
4. Натуральные числа делятся на однозначные (от 1 до 9) и многозначные числа (состоят минимум из двух цифр).
5. При написании и прочтении натуральных чисел используют классы и разряды. Разряд — место цифры в числе. Класс — группа из трех разрядов.
6. Натуральные числа можно складывать, умножать, возводить в степень, вычитать, делить и извлекать из них корень.
Список источников
1. Министерство Образования И Науки Российской Федерации «Математика: пособие для абитуриентов». 2015.
2. Трошин В. В. «Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения». 2020.
3. Когаловский С. Р. «Все есть число» / Вестник Ивановского государственного университета. Серия: Гуманитарные науки. 2022.
4. Бабалао Ф. Р. «История числа ноль и почему Нельзя делить на ноль» / Вестник науки и образования. 2018.
