В пятом классе школьники переходят от выполнения простых арифметических действий с целыми числами к работе с дробями. В этот период им предстоит запомнить, какие виды дробей существуют, как их складывать, вычитать, перемножать и, конечно же, делить. Мы расскажем, как разделить обыкновенную или десятичную дробь на число, как найти частное двух смешанных чисел и обо многих других важных моментах .
Виды дробей
Прежде чем говорить о делении дробей, давайте разберемся в терминологии и вспомним, какие виды дробей могут встретиться в примерах и задачах на уроках математики.
Обыкновенные
Первый вид дробей, с которым сталкиваются школьники — это обыкновенные дроби. Это соотношение двух чисел, которое записано следующим образом:
Также обыкновенную дробь иногда записывают в строку: a/b. Хотя в школе используется первый вариант записи: знаменатель под числителем.
Напомним, что обыкновенные дроби могут быть правильными и неправильными:
Для деления нам также понадобится понятие «обратная дробь»: чтобы получить дробь, обратную исходной, нам нужно поменять местами числитель и знаменатель.
Десятичные
Еще один вид дробей — десятичные. С ними мы сталкиваемся в повседневной жизни: видим на ценниках, в документах и даже на упаковках молока.
Общий вид десятичной дроби — это два числа, разделенные запятой: 999,9. В такой записи выделяют «целую часть» — число слева от запятой, «дробную часть» — число справа от запятой, а саму запятую называют десятичной.
Для перевода такой дроби в обыкновенную в числитель нужно записать подряд целую и дробную часть, не разделяя их запятыми, а в знаменатель — круглое число, соответствующее количеству знаков в дробной части. Один знак — пишем 10, два знака — 100, и так далее. Например:
Смешанные числа
Смешанным числом называется сочетание целого числа и правильной обыкновенной дроби. Такие числа получаются из неправильных дробей, если выделить в них целую часть, или из десятичных, если преобразовать их дробную часть в обыкновенную дробь.
Деление десятичных дробей
Начнем изучение деления с десятичных дробей: разберемся, как разделить их на разные виды чисел.
На десятичную дробь
Для того чтобы найти частное двух дробей этого типа, первым делом нужно уравнять количество знаков в их дробной части. Для этого в дробь с меньшим количеством знаков после запятой дописываем нужное число нулей. После этого можно опустить запятые и записать соотношение получившихся чисел. Удобнее всего разобрать на примере:
На обыкновенную дробь
Чтобы найти частное десятичной и обыкновенной дроби, удобнее всего привести обе к обыкновенному виду. Как это сделать, мы уже разбирали выше: записываем десятичную дробь без запятой в числитель, а подходящее круглое число — в знаменатель. После этого можно переходить к делению.
Для того чтобы разделить какое–либо число на обыкновенную дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную данной. Например:
На натуральное число
Деление на целые числа знакомо школьникам с уроков математики в начальной школе, и в случае с дробями оно в целом не становится намного сложнее. Пусть делимое — дробь десятичного вида, а делитель — натуральное число. Чтобы найти их частное, нам нужно пройти три основных шага:
- Разделить целую часть дроби. Если число, стоящее в целой части, меньше делителя, в частном запишем ноль.
- Поставить в частном запятую.
- Остаток от деления целой части дописать слева к дробной части и разделить полученное число на делитель. Можно сделать это, например, столбиком.
- Если полученное в дробной части число меньше делителя, ставим после запятой ноль. После добавляем ноль к числу-делимому и продолжаем.
- Если полученное в дробной части число не делится на делитель нацело, дописываем в конце нули и продолжаем действия до тех пор, пока деление не завершится.
- Записать результат после запятой.
Разделим 10,4 на 5:
- Целая часть 10 делится на 5 нацело — пишем в целой части частного «2».
- Ставим запятую — получается «2,»
- Пробуем делить число в дробной части. 4 меньше 5, значит дописываем на текущую позицию 0: «2,0».
- Дописываем к делимому дробной части 0 и продолжаем деление: 40 делится на 5 нацело, получаем 8.
- Результат — 2,08.
Деление обыкновенных дробей
Основные алгоритмы проведения действия сохраняются, разберем частные случаи.
На обыкновенную дробь
Чтобы найти частное двух обыкновенных дробей, просто домножаем делимое на дробь, обратную делителю. То есть в числитель результата пишем произведение числителя делимого и знаменателя делителя, а в знаменатель — знаменателя делимого и числителя делителя.
На десятичную дробь
В этом случае, как и в обратном, удобно привести обе дроби к обыкновенному виду. В конце, если это нужно и удобно, можно перевести частное в десятичную дробь. Попробуем:
На натуральное число
Частное дроби и числа, пожалуй, самый простой случай в нашем списке. Чтобы выполнить это действие, достаточно домножить знаменатель делимого на делитель и при необходимости сократить результат:
Деление смешанных дробей
Если делимое или делитель состоит из целого числа и обыкновенной дроби, для того чтобы проводить деление, его нужно перевести в неправильную обыкновенную или в десятичную дробь. Выбор зависит от того, с чем вам удобнее производить действия.
Примеры на деление дробей из программы по математике
Мы подготовили несколько математических примеров, которые помогут потренировать умение делить дроби.
Примеры на деление десятичных дробей
Выполним деление:
Примеры на деление обыкновенных дробей
Приведем примеры, где делимое — обыкновенная дробь:
Примеры на деление смешанных дробей
Найдем частное двух смешанных чисел, результат преобразуем обратно в смешанную дробь:
Мнение эксперта
«Первое, что хочется сказать — это то, что смысл математики всегда в упрощении, — говорит Альбина Бабурчина, репетитор по математике, автор курсов по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике. — Поэтому можно легко запомнить, что если вы знаете, как умножить дроби, то уже знаете и как их поделить. Потому что деление мы заменяем умножением на перевернутую вторую дробь. Просто же?
То же самое можно сказать и про деление смешанных чисел — упрощайте. Переводите в обыкновенную дробь, а дальше вы уже знаете: умножаем на перевернутую вторую.
Если вам нравится возиться с большими числами и рисковать, то никогда не сокращайте дроби. Но если вам хочется с большой долей вероятности решить правильно — очень рекомендую сократить дробь, и только после этого делать основное действие.
Про деление десятичных дробей: снова не обойдется без "упрощения" и создания удобств для себя же. Никто не запрещает делить столбиком или в уме вместе с запятыми. Если же хочется сделать пример более комфортным, то перенесите запятые вправо в делимом и делителе. Главное — на одинаковое количество символов! Если делимое будет целым, то считать будет проще.
Если освоить эти нехитрые методы как можно скорее, дроби будут не самой сложной, а самой любимой темой».
Главное о делении дробей
Мы составили список советов о том, как быстро и легко находить частное дробей и смешанных чисел:
- Для деления обыкновенной дроби на целое число домножаем знаменатель делимого на делитель.
- При поиске частного десятичной дроби и целого числа сначала делим целую часть, потом дробную.
- Деление на обыкновенную дробь равнозначно умножению на дробь, обратную исходной.
- Для деления десятичных дробей в первую очередь нужно привести обе дроби к одинаковому количеству знаков после запятой, для этого дописываем нужное количество нулей в конце.
- Для нахождения частного двух десятичных дробей с равным количеством знаков после запятой опускаем десятичную запятую и делим их как целые числа.
- Если делимое или делитель — смешанная дробь, переводим ее в неправильную или десятичную.
- В примерах с разными видами дробей приводим их к обыкновенному виду.
