Разберем алгоритмы деления на однозначные и двузначные числа, с остатком и без. Расскажем, как делить в столбик десятичные дроби и покажем подробные примеры для каждого случая.
Общая схема записи и главные понятия
Чтобы научиться делить числа в столбик, важно запомнить, как выглядит запись деления уголком, и какие элементы участвуют в вычислениях.
Число, которое нужно разделить, называется делимым. То, на которое делят, делителем. Итог вычислений называют частным. Например, если мы делим 584 на 4, то 584 — это делимое, 4 — это делитель, а результат деления, то есть 146, будет частным.
Запись деления уголком выглядит следующим образом. Делимое пишется слева, делитель справа, и между ними ставится вертикальная черта, которая их разделяет.
Под делителем проводится горизонтальная черта. Под ней мы будем записывать частное, то есть результат деления.
Все промежуточные вычисления записываются слева от вертикальной черты, под делимым.
Пример полной записи:
Слева от черты мы видим числа 11, 17, 20 — это неполные делимые, которые мы выделяем на каждом шаге деления. Числа 5, 10, 20 под ними — это произведения делителя на каждую найденную цифру частного, которые мы вычитаем из неполного делимого. Последнее число 0 в самом низу — это остаток, который показывает, что деление выполнено нацело.
Теперь, когда мы познакомились с общей записью и названиями всех элементов, перейдем к подробному разбору каждого шага деления в столбик на конкретном примере.
Деление в столбик на однозначное число с примерами
Расскажем подробно, как делить в столбик на однозначное число. Для примера разделим 584 на 4.
Запишем пример уголком.
Шаг 1. Выделяем первое неполное делимое.
Мы начинаем деление с самой левой цифры делимого. Это 5. Она стоит в разряде сотен. Нам нужно понять, можно ли разделить эту цифру на делитель 4.
Пять больше четырех, значит, мы можем взять эту пятерку как первое неполное делимое. Если бы первая цифра была меньше делителя, например, при делении 345 на 6 первая цифра 3 меньше 6, то мы бы взяли первые две цифры — 34. Но в нашем примере пятерка подходит.
Это делимое называется неполным, так как мы берем не все число сразу, а только его часть, достаточную для первого шага деления. В дальнейшем мы будем брать следующие части, и каждая из них тоже будет неполным делимым.
Шаг 2. Делим первое неполное делимое на делитель и получаем первую цифру частного.
Делим 5 на 4. В результате получаем 1. Эта единица становится первой цифрой частного. Мы записываем ее под горизонтальной чертой справа от вертикальной черты. Пока у нас в частном только одна цифра — 1.
Шаг 3. Находим произведение и остаток.
Умножаем делитель 4 на только что найденную цифру частного 1. Получаем 4. Это произведение мы записываем под первым неполным делимым, то есть под пятеркой. Теперь вычитаем 4 из 5. Получаем остаток 1. Этот остаток показывает, что одна сотня еще не разделена. Мы используем его для следующего шага.
Шаг 4. Сносим следующую цифру делимого и образуем новое неполное делимое.
Теперь нам нужно продолжить деление. В делимом осталась цифра 8, которая стоит в разряде десятков. Мы ее сносим вниз, приписывая к остатку 1. Приписываем именно справа, потому что остаток 1 — это одна сотня, а мы переходим к десяткам. Одна сотня — это десять десятков. Приписывая цифру 8, мы фактически добавляем к этим десяти десяткам еще восемь десятков, получая восемнадцать десятков. Это число 18 и становится вторым неполным делимым. Мы записываем его слева от вертикальной черты под предыдущими вычислениями.
Снос цифры мы делаем всегда, когда после вычитания у нас остается остаток и в делимом еще есть неиспользованные цифры. Мы сносим их по одной, каждый раз переходя к следующему разряду: от сотен к десяткам, от десятков к единицам и так далее. Если бы у нас не было остатка, мы все равно сносили бы следующую цифру, чтобы продолжить деление.
Шаг 5. Делим новое неполное делимое и получаем вторую цифру частного.
Теперь делим 18 на 4. Если умножить на четыре, получится 16, а на пять — 20, что больше восемнадцати. Значит, вторая цифра частного — 4. Мы дописываем ее в частное справа от первой цифры. Теперь в частном записано 14.
Шаг 6. Снова находим произведение и остаток.
Умножаем делитель 4 на новую цифру частного 4. Получаем 16. Пишем это число под вторым неполным делимым 18. Вычитаем 16 из 18, получаем остаток 2. Это два десятка, которые еще не разделены.
Шаг 7. Сносим следующую цифру — последнюю.
В делимом осталась последняя цифра 4, которая стоит в разряде единиц. Мы ее сносим, приписывая справа к остатку 2. Два десятка — это двадцать единиц, плюс четыре единицы из делимого — получаем двадцать четыре. Это третье неполное делимое. Записываем 24 слева.
Шаг 8. Делим последнее неполное делимое
Делим 24 на 4, получаем 6, значит, третья цифра частного — 6. Дописываем ее в частное, и теперь у нас там записано 146. Умножаем 4 на 6, получаем 24, записываем под 24 со знаком минус, вычитаем, остаток равен нулю.
Цифр в делимом больше нет, остаток нулевой, значит, деление закончено. Ответ: 146.
Чтобы убедиться в правильности, можно умножить частное 146 на делитель 4. Получим 584, что совпадает с делимым. Значит, деление выполнено верно.
Как делить в столбик на двузначное число и более
Теперь расскажем, как делить в столбик на двузначное число: 735 разделим на 21. Полная запись будет такой.
Шаг 1. Находим первое неполное делимое
Первая цифра делимого — 7. Сравниваем ее с делителем 21. Семь меньше двадцати одного, значит, одной цифры недостаточно. Берем первые две цифры — 73. Семьдесят три больше двадцати одного, поэтому 73 становится первым неполным делимым.
Важно помнить, что 73 — это не просто число, а семьдесят три десятка, потому что мы взяли сотни и десятки.
Шаг 2. Подбираем первую цифру частного
Теперь нам нужно подобрать такую цифру, чтобы при умножении на 21 получить число, не превосходящее 73, но как можно ближе к нему. Пробуем умножить 21 на 3. Получаем 63. Это меньше 73. Умножаем на 4 — получаем 84, что уже больше 73. Значит, подходит цифра 3.
Она будет первой цифрой частного и означает, что в частном будет 3 десятка. Записываем 3 под черту.
Шаг 3. Вычисляем произведение и остаток
Умножаем 21 на 3, получаем 63, записываем под 73. Вычитаем: 73 минус 63 равно 10.
Шаг 4. Сносим следующую цифру
В делимом осталась последняя цифра 5 — это единицы. Сносим ее, приписывая справа к остатку 10. Десять десятков — это сто единиц, плюс пять единиц дает 105. Это второе неполное делимое. Оно неполное, потому что мы взяли только оставшуюся часть делимого, а не все число целиком. Записываем 105 слева.
Шаг 5. Делим второе неполное делимое и получаем вторую цифру частного
Делим 105 на 21, получается 5, значит, вторая цифра частного — 5. Дописываем ее к первой, и теперь частное равно 35.
Шаг 6. Умножаем и вычитаем
Умножаем 21 на 5, получаем 105, записываем под 105, вычитаем — остаток ноль. Цифр в делимом больше нет, деление закончено. Ответ: 35.
Как делить в столбик на трехзначное число и более
Деление на трехзначное число выполняется по тому же алгоритму, что и деление на двузначное. Главное отличие лишь в том, что делитель больше, поэтому первое неполное делимое, скорее всего, будет состоять из двух или даже трех цифр.
Единственная сложность при делении на трехзначное число и более — это подбор цифр частного, потому что умножение больших чисел требует больше внимания.
После того как вы освоили деление на двузначные числа, трехзначные делители не вызовут у вас труда, так как логика остается точно такой же, а навык подбора цифр приходит с практикой.
Правила и примеры деления в столбик с остатком
Иногда делимое не делится на делитель нацело. В таком случае после того, как мы сносим все цифры и получаем остаток, меньший делителя, этот остаток записывается в ответе.
Рассказываем, как делить в столбик с остатком. Разделим 457 на 6.
Полная запись:
Алгоритм деления в столбик с остатком:
1. Первая цифра 4 меньше 6, поэтому их делимого берем 45. Делим 45 на 6. Подходит 7. Записываем в частное.
2. Умножаем первую цифру частного на делитель, записываем 42 под неполным делимым, вычитаем, получаем 3.
3. Сносим следующую цифру —7, приписываем к 3, получаем 37. Делим 37 на 6, результат дописываем в частное — теперь там 76.
4. Умножаем вторую цифру частного на делитель, записываем 36 под неполным делимым, вычитаем, получаем 1.
Цифр в делимом больше нет, а остаток 1 меньше делителя 6. Значит, деление закончено с остатком 1. Ответ: 76 и остаток 1.
Чтобы проверить, умножаем 76 на 6, получаем 456, и прибавляем остаток 1. Получается 457. Все верно.
Деление десятичных дробей в столбик с примерами
Десятичные дроби делятся почти так же, как целые числа
Разделим 6,48 на 4:
Шаг 1. Делим целую часть
Первое неполное делимое — 6 целых. Делим 6 на 4, получаем 1, остаток 2.
Шаг 2. Сносим первую цифру после запятой
После целой части в делимом стоит запятая, и следующая цифра — 4, которая обозначает десятые доли. Мы сносим эту четверку, приписывая ее к остатку 2. Получаем 24.
Но есть важный момент: когда мы сносим первую цифру после запятой, обязательно ставим запятую в частном.
Шаг 3. Делим десятые
24 десятых делим на 4, получаем 6 десятых. Записываем 6 после запятой в частном. Теперь частное — 1,6.
Шаг 4. Сносим следующую цифру и делим сотые
Сносим 8 — это сотые доли, после них запятая в частном не ставится. Приписываем к остатку, который после вычитания 24 минус 24 равен нулю, получаем 8. Это 8 сотых. Делим на 4, получаем 2 сотых. Дописываем 2 в частное. Получаем 1,62.
Вычитаем 4 умножить на 2 равно 8, остаток ноль. Ответ: 1,62.
Деление десятичных дробей в столбик с примерами
Иногда нам нужно разделить число на десятичную дробь, например, 7,2 разделить на 0,6. Если оставить все как есть, делить в столбик будет неудобно, потому что в делителе есть запятая.
Чтобы упростить себе задачу, мы делаем так: мысленно убираем запятую из делителя, превращая его в целое число. Для этого мы смотрим, сколько цифр стоит после запятой в делителе. В числе 0,6 после запятой всего одна цифра — это 6. Значит, мы переносим запятую в делителе на один знак вправо, и 0,6 превращается в 6. Но при этом мы обязаны сделать то же самое и с делимым — перенести запятую в тоже на один знак вправо.
Тогда 7,2 превращается в 72. Теперь мы делим 72 на 6 — это уже привычное деление на целое число, и ответ получается 12.
Фактически умножили и делимое, и делитель на одно и то же число — на 10 в нашем примере. От этого частное не меняется, ведь разделить 7,2 на 0,6 — это то же самое, что разделить 72 на 6. Так что мы просто сдвигаем запятые вправо на одинаковое количество знаков, и задача становится проще.
Если в делителе после знака две цифры, например, 0,06, то мы переносим ее на две позиции вправо: 0,06 становится 6. Если в делимом не хватает цифр для переноса, мы просто дописываем нули: например, 7, 2 превратится в 720.
Вопросы и ответы
Ответили на частые вопросы читателей проекта.
1. Почему мы сносим цифры по одной и приписываем их к остатку?
Мы сносим цифры, потому что деление происходит по разрядам. После того как мы разделили старший разряд, остаток нужно объединить со следующим разрядом, чтобы продолжить деление.
Приписывание цифры справа к остатку означает, что мы переходим к следующему разряду: если у нас остаток в сотнях, мы превращаем его в десятки, добавляя цифру десятков из делимого. Без сноса мы не смогли бы учесть все разряды делимого.
2. Когда мы не приписываем цифру?
Мы всегда приписываем следующую цифру делимого, пока они есть. Если после вычитания остаток равен нулю и в делимом больше нет цифр, мы просто заканчиваем деление. Если остаток есть, но цифр больше нет, то это остаток от деления.
5. Можно ли делить в столбик, если делитель больше делимого?
Да. В этом случае первое неполное делимое будет меньше делителя, и мы не сможем получить целую цифру частного.
Например, нужно разделить 3 на 5 или 7 на 12. В таких случаях в частном не получается ни одной целой единицы, потому что в делимом просто не хватает величины, чтобы разделить его хотя бы на одну часть. Поэтому первым делом мы записываем в частное ноль. Это означает, что целая часть результата равна нулю. После этого мы ставим запятую, показывая, что дальше пойдут десятые, сотые и другие доли.
Теперь мы продолжаем деление, но с одним важным изменением: мы мысленно приписываем к остатку ноль, превращая его в число, которое уже можно делить. В нашем примере с 3, разделенным на 5, мы мысленно приписываем к тройке ноль, получая 30. Делим на 5 — и получаем 6. Эта шестерка становится первой цифрой после запятой, то есть десятыми долями. Ответ будет 0,6.
Теперь вы знаете все тонкости деления в столбик. Главное — аккуратно записывать числа и понимать, что каждый шаг связан с переходом от старших разрядов к младшим. Практикуйтесь, и навык придет быстро.