Формула теоремы о двух секущих
Если из точки A, лежащей вне окружности, проведены две секущие, пересекающие окружность в точках B и C и в точках D и E (при этом B и D ближе к A, а C и E дальше), то выполняется равенство: AB · AC = AD · AE.
Здесь AB и AD — внешние части секущих, а AC и AE — целые отрезки от точки A до дальних точек пересечения с окружностью. Смысл формулы такой: произведение внешнего отрезка на весь отрезок по одной секущей равно такому же произведению по другой секущей.
Доказательство теоремы о двух секущих
Рассмотрим окружность и точку A вне нее. Проведем секущие A–B–C и A–D–E. Соединим точки C и E, а также точки B и D. Тогда можно рассмотреть треугольники ACB и AED, которые связаны углами.
Угол A общий по направлению секущих, а углы при точках пересечения с окружностью можно связать через свойства вписанных углов, опирающихся на одни и те же дуги. В результате получается, что треугольники ACB и AED подобны.
Из подобия следует пропорция AB/AD = AE/AC. Перемножая крест накрест, получаем AB · AC = AD · AE, что и требовалось доказать.
