Теорема о биссектрисе треугольника: формула, доказательство, объяснение простыми словами

Теорема о биссектрисе треугольника

Теорема о биссектрисе треугольника устанавливает связь между отрезками, на которые биссектриса делит противолежащую сторону, и длинами двух других сторон треугольника. Она помогает находить неизвестные величины в задачах и понимать свойства треугольников.

2 КАРТОЧКИ

1.
Формулировка теоремы о биссектрисе треугольника
2.
Доказательство теоремы о биссектрисе треугольника

Формулировка теоремы о биссектрисе треугольника

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Представим треугольник ABC, в котором проведена биссектриса угла A. Она пересекает сторону BC в точке D. Тогда отношение отрезков BD к DC равно отношению сторон AB к AC.

Простыми словами: во сколько раз одна сторона больше другой, во столько же раз один отрезок больше другого. Эта закономерность работает для любого треугольника и любой его биссектрисы.

Доказательство теоремы о биссектрисе треугольника

Для доказательства используем метод площадей. Биссектриса AD делит треугольник ABC на два меньших треугольника: ABD и ACD. Поскольку AD — биссектриса, углы BAD и CAD равны. Площади этих треугольников относятся как произведения сторон на синус угла между ними, а синусы равных углов одинаковы.

Получается, что отношение площадей треугольников ABD и ACD равно отношению сторон AB к AC, и это же отношение равно отношению оснований BD к DC при общей высоте, проведенной из точки A.