Формулировка основной теоремы арифметики
Любое натуральное число больше 1 можно представить как произведение простых чисел. Причем такое разложение единственно: если два раза разложить одно и то же число на простые множители, получится один и тот же набор простых чисел.
Отличаться может только порядок множителей, потому что от перестановки произведение не меняется. Это и есть смысл теоремы: простые числа выступают как «кирпичики», из которых собираются все остальные.
Доказательство основной теоремы арифметики
Сначала доказывают, что разложение существует. Если число простое, оно уже является разложением. Если число составное, его можно представить как произведение двух меньших натуральных чисел.
Если среди них есть составные, их снова раскладывают на множители. Этот процесс не может продолжаться бесконечно, потому что на каждом шаге числа становятся меньше, а вниз по натуральным числам бесконечно «спускаться» нельзя. Значит, рано или поздно вы получите произведение только простых чисел.
Затем доказывают единственность разложения. Предположим, одно и то же число удалось представить как произведение простых чисел двумя разными способами. Возьмем один простой множитель из первого произведения. Он должен делить все число, а значит, должен делить и второе произведение.
Но простое число может делить произведение только тогда, когда оно делит хотя бы один из множителей этого произведения. Следовательно, во втором разложении обязательно найдется такой же простой множитель. Убирая одинаковые множители с обеих сторон и повторяя рассуждение, приходят к выводу, что все простые множители совпадают, и их количество тоже совпадает.
