Что такое изоморфизм: определение термина
Взаимно однозначное отображение между двумя структурами, которое сохраняет операции и отношения, заданные в этих структурах. В алгебре чаще всего говорят об изоморфизме групп, колец, векторных пространств, когда при переводе элементов из одной системы в другую не ломаются правила сложения, умножения или других операций.
Важное условие — обратимость: каждому элементу первой структуры соответствует ровно один элемент второй, и наоборот. Если существует изоморфизм, то объекты считают одинаковыми по структуре, хотя элементы у них могут называться иначе.
Зачем нужен изоморфизм
Он помогает доказывать свойства: если два объекта изоморфны, то все структурные свойства одного автоматически верны и для другого. Это удобно, когда один объект проще изучать или уже хорошо известен.
Узнают изоморфизм по двум признакам: соответствие должно быть взаимно однозначным и должно сохранять операции, то есть результат действия над элементами должен переходить в такой же результат после отображения. На практике часто сначала проверяют, что отображение не «склеивает» разные элементы и покрывает всю вторую структуру, а затем проверяют сохранение операций.
