Что такое трансцендентное число: определение термина
Число называют трансцендентным, если оно не является решением ни одного многочлена . Если число все же удовлетворяет такому уравнению, его называют алгебраическим. Например, корень из двух алгебраическое. А числа e и π считаются трансцендентными.
Как доказывают трансцендентность
Доказать трансцендентность трудно, потому что нужно показать: не существует ни одного подходящего многочлена с целыми коэффициентами. В простейших случаях используют специальные приемы, которые дают точные оценки и приводят к противоречию, если предположить, что число алгебраическое.
Один из первых результатов связан с числами, которые слишком хорошо приближаются дробями: для некоторых таких чисел можно строго доказать, что они не могут быть корнями многочленов.
Для важных констант вроде e и π применяют более сильные теоремы: они опираются на свойства экспоненты и логарифмов и показывают, что предположение об алгебраичности невозможно.
