Формула теоремы Чевы
Возьмем треугольник ABC и проведем три отрезка из каждой вершины к противоположной стороне. Пусть отрезок из вершины A пересекает сторону BC в точке L, из вершины B — сторону AC в точке M, а из вершины C — сторону AB в точке N. Теорема Чевы говорит: если все три отрезка пересекаются в одной точке, то выполняется равенство (AN/NB) × (BL/LC) × (CM/MA) = 1. Здесь буквы обозначают длины соответствующих отрезков на сторонах треугольника. Это соотношение работает и в обратную сторону: если произведение трех дробей равно единице, то отрезки обязательно пересекутся в одной точке.
Доказательство формулы Чевы
Для доказательства используют площади треугольников, на которые отрезки делят исходный треугольник. Проведем все три отрезка и обозначим точку их пересечения буквой P. Теперь сравним площади маленьких треугольников, которые получились внутри большого треугольника ABC. Отношения отрезков на сторонах можно выразить через отношения площадей соседних треугольников. Когда перемножаем все три дроби из формулы, промежуточные площади сокращаются, и в результате получается единица.
