Формула теоремы о пропорциональных отрезках
Рассмотрим треугольник ABC. Точки M и N лежат на сторонах AB и AC, а MN ∥ BC. Тогда выполняются пропорции:
AM деленное на MB = AN деленное на NC.
Также верны равенства отношений соответствующих сторон:
AM деленное на AB= AN деленное на AC и = MN деленное на BC.
Эти записи означают: если отрезок параллелен стороне треугольника, то он «масштабирует» фигуру, и все подходящие длины уменьшаются или увеличиваются одинаково.
Доказательство теоремы о пропорциональных отрезках
Так как MN ∥ BC, то углы ∠AMN и ∠ABC равны, а также ∠ANM и ∠ACB равны. У треугольников AMN и ABC еще общий угол ∠A. Значит, треугольники AMN и ABC подобны по двум углам. Из подобия следует, что отношения соответствующих сторон равны:
AM деленное на AB = AN деленное на AC.
Теперь запишем AB = AM+MB и AC= AN+NC. Подставим в пропорцию:
AM деленное на AM+MB = AN деленное на AN+NC.
Перемножим крест накрест: AM (AN+NC) = AN (AM+MB).
Раскроем скобки и сократим одинаковые части AM⋅AN : AM⋅NC = AN⋅MB.
Разделим обе части на MB⋅NC получим: AM деленное на MB=AN деленное на NC. Это и требовалось доказать.
