Формула теоремы Пика
Формула Пика выглядит так:
S = В + Г/2 − 1
— где S — площадь многоугольника, В — количество узлов решетки внутри фигуры, Г — количество узлов на границе (включая вершины).
Представьте лист в клетку, на котором нарисован многоугольник так, что все его вершины попадают в углы клеток. Вместо того чтобы делить фигуру на треугольники или использовать сложные формулы, достаточно посчитать точки-узлы.
Эта формула работает для любых многоугольников без самопересечений — треугольников, четырехугольников и фигур с большим числом сторон. Австрийский математик Георг Пик открыл эту закономерность в 1899 году.
Доказательство формулы Пика
Доказательство формулы Пика строится на разбиении многоугольника на простейшие фигуры — треугольники с вершинами в узлах решетки. Сначала проверяют формулу для элементарного треугольника (наименьшего треугольника на решетке площадью 1/2). Затем показывают, что при объединении двух многоугольников формула сохраняется: если она верна для каждого из них, то верна и для их объединения.
Любой многоугольник можно разбить на элементарные треугольники, поэтому формула работает для всех случаев. Это доказательство основано на методе математической индукции и свойствах аддитивности площади.
