Формула теоремы синусов
Теорема синусов записывается в виде равенств:
a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
— где a, b, c — стороны треугольника, A, B, C — противолежащие им углы, а R — радиус описанной окружности.
Это означает, что отношение любой стороны к синусу противолежащего угла всегда одинаково для всех трех сторон.
Формула работает для любых треугольников: остроугольных, тупоугольных и прямоугольных. С помощью теоремы синусов можно найти неизвестные стороны или углы треугольника, если известны другие элементы.
Доказательство теоремы синусов
Рассмотрим треугольник ABC и проведем в нем высоту h из вершины B к стороне AC. Высота разделит треугольник на два прямоугольных треугольника.
В одном из них h = c · sin A, а в другом h = a · sin C.
Приравняем эти выражения: c · sin A = a · sin C.
После преобразования получим a/sin A = c/sin C.
Аналогично, проведя высоту из другой вершины, можно доказать равенство для третьей стороны. Связь с радиусом описанной окружности доказывается через центральный угол, который в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.
