Формула теоремы косинусов
Теорема косинусов записывается в виде формулы:
c² = a² + b² − 2ab × cos γ
— где a, b и c — стороны треугольника, а γ — угол между сторонами a и b.
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Формулу можно записать для каждой из трех сторон треугольника, просто меняя буквы местами.
Например, если нужно найти сторону c, а известны стороны a = 5 см, b = 7 см и угол между ними 60°, то c² = 25 + 49 − 2 × 5 × 7 × 0,5 = 39, откуда c ≈ 6,24 см.
Эта формула работает для любых треугольников: остроугольных, тупоугольных и прямоугольных.
Доказательство теоремы косинусов
Рассмотрим треугольник ABC со сторонами a, b и c. Опустим высоту h из вершины C на сторону AB или ее продолжение. Высота разделит основание на два отрезка, один из которых можно выразить через косинус угла: он равен b × cos α.
По теореме Пифагора для получившихся прямоугольных треугольников можно записать два равенства и выразить через них высоту. Подставив выражение для высоты в формулу для стороны c и упростив, получим c² = a² + b² − 2ab × cos α.
Таким образом, связь между сторонами и углом треугольника доказана через известные геометрические свойства.
