Формула теоремы Виета
Для квадратного уравнения вида x² + px + q = 0 теорема Виета утверждает, что сумма корней равна −p, а произведение корней равно q.
Если обозначить корни уравнения как x₁ и x₂, то получим две формулы:
x₁ + x₂ = −p
x₁ · x₂ = q
Теорема работает только для приведенных квадратных уравнений, где коэффициент при x² равен единице. Если уравнение записано в общем виде ax² + bx + c = 0, его нужно разделить на коэффициент a.
Теорема названа в честь французского математика Франсуа Виета, который открыл эту закономерность в XVI веке.
Доказательство теоремы Виета
Рассмотрим квадратное уравнение x² + px + q = 0 с корнями x₁ и x₂.
По определению корней уравнение можно разложить на множители:
x² + px + q = (x − x₁)(x − x₂).
Раскроем скобки в правой части:
(x − x₁)(x − x₂) = x² − x₂x − x₁x + x₁x₂ = x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂.
Теперь сравним коэффициенты в левой и правой частях равенства. Коэффициент при x в левой части равен p, а в правой −(x₁ + x₂), значит p = −(x₁ + x₂), откуда x₁ + x₂ = −p. Свободный член в левой части равен q, а в правой x₁x₂, следовательно x₁ · x₂ = q, что и требовалось доказать.
